Sobre a Evolução da Álgebra Geométrica e do Cálculo Geométrico



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Fonte: http://geocalc.clas.asu.edu/html/Evolution.html

 

Embora Leibniz tenha articulado o sonho de um cálculo geométrico universal no século XVII, a sua realização começou em 1844 com o grande trabalho de Hermann Grassmann, Die Lineale Ausdehnungslehre. A Visão de Grassmann estava tão à frente de seu tempo, no entanto, que levou mais de um século para ser amplamente apreciada [Schubring, 1996]. Enquanto isso Grassmann penetrou profundamente no pensamento de tais excelentes matemáticos como Peano [1888] e Whitehead [1848], mas o trabalho deles não conseguiu avançar ou promulgar a sua visão. Muitas de suas ideias foram redescobertas e/ou mais desenvolvidas anonimamente em vários ramos da matemática, mas sem a sua perspectiva unificadora.

O programa de Grassmann para desenvolver um cálculo geométrico universal ressurgiu em 1966 com o livro Space-Time Algebra (STA) escrito por David Hestenes, um refinamento da sua tese de doutorado (UCLA, 1963). Foi dada à ideia de álgebra geométrica uma forma moderna e revigorada por mais de um século de avanços na matemática e na física desde Grassmann. Os principais progenitores matemáticos da Álgebra Geométrica (GA) e dos Cálculos Geométricos (GC) são mostrados na Árvore Genealógica abaixo. Os papéis da física teórica e as Anotações de Palestras de Marcel Riesz [1958] para estimular a síntese inicial são descritos no artigo de “Clifford Algebra and the Interpretation of Quantum Mechanics(Álgebra de Clifford e a Interpretação da Mecânica Quântica). No geral, aplicações à física fizeram mais para desenvolver a GA do que a pesquisa matemática pura.

 

O livro Space-Time Algebra ofereceu uma espécie de “comprovação do conceito”. Ele mostrou como a álgebra geométrica proporciona formulações compactas, livres de coordenadas para as equações básicas da física, bem como novos “insights” sobre sua estrutura geométrica. No entanto, para se tirar o máximo proveito dessas novas fórmulas, novas ferramentas e métodos computacionais ou, reformulações livres de coordenadas e adaptações dos métodos antigos eram necessárias. Isso tem estimulado o desenvolvimento do Cálculo Geométrico ao longo de várias linhas até os dias atuais.

 

O tratamento mais abrangente da teoria matemática é dada no livro Clifford Algebra to Geometric Calculus [1984]. Com exceção do último capítulo adicionado em 1979, o manuscrito estava pronto para publicação em 1976, mas não apareceu na mídia impressa até 1984, devido à uma infeliz série de contratempos de publicação. Documentos com extensões e melhorias nos cálculos estão reunidos em Universal Geometric Calculus. Com argumentos gerais e muitos exemplos, foi provado que a álgebra geométrica é uma ferramenta computacional geral, mais eficiente do que a álgebra matricial. É, portanto, uma candidata para suplantar (ou subordinar) a álgebra matricial no software de computador e nos projetos de software para computação científica. Na verdade, o uso da álgebra geométrica no Projeto Geométrico Informatizado, na Visão Computacional e robótica está se expandindo rapidamente.

As aplicações da GA para a física são agora tão diversas e extensas que existe a necessidade de organizá-las em livros de maior acessibilidade. Enquanto isso, os sites de GA aqui e em Cambridge fornecem essa função sob a forma de “livros on-line.” Esses são os únicos sites expressamente preocupados com o desenvolvimento de um Cálculo Geométrico Universal. Os desenvolvimentos mais entusiasmantes estão na mecânica quântica relativística e na teoria da gravitação, onde a GA trouxe novas percepções e simplificações. O livro em andamento Spacetime Calculus tem a intenção de servir como uma introdução compacta para este domínio.

Referências

  1. K. Clifford, “Application of Grassmann’s Extensive Algebra,” Jornal Americano de Matemática 1878, I: 350-358.
  2. Grassmann, 1844, “Linear Extension Theory” (Die Lineale Ausdehnungslehre), traduzido por L. C. Kannenberg em The Ausdehnungslehre” de 1844 e Outros Trabalhos (Chicago, La Salle: Open Court Publ. 1995).
  3. Peano, Cálculos Geométricos de acordo com Ausdehnungslehre [1888] de H. Grassmann, direitos autorais de tradução 1997 por L. Kannenberg, pode ser contactado em: kannenbel@woods.uml.edu.
  4. Riesz, Clifford Numbers and Spinors, (extraído de anotações de palestras 1957-8). Editado por E. Folke Bolinder e P. Lounesto, Kluwer Academic Publisher, [1993].
  5. Schubring (ed.), 1996, Hermann Gunther Grassmann (1809-1877): Matemático Visionário, Cientista e Estudioso Neohumanista, 243-245, Kluwer Academic Publisher.
  6. N. Whitehead, 1898, “A Treatise on Universal Algebra with Applications,” Cambridge University Press, Cambridge, (Reimpressão: Hafner, New York, 1960).

Livros Recentes sobre a Álgebra Geométrica

de Clifford e Cálculos

  1. Hestenes and G. Sobczyk, Clifford Algebra to Geometric Calculus.
  2. Hestenes, New Foundations for Classical Mechanics.
  3. Hestenes, Space-Time Algebra.
  4. Hestenes, Space-Time Calculus.
  5. Delanghe, F. Sommen and V. Soucek, Clifford Algebra and Spinor-Valued Functions, Kluwer Academic Publisher, Dordrecht/Boston (1992).
  6. Lounesto, Clifford Algebras and Spinors, Cambridge University Press, Cambridge (1997).
  7. Ablamowicz & B. Fauser (Eds.), Clifford Algebras and their Applications in Mathematical Physics, Vol. 1 & 2 (Birkhauser, Boston, 2000).
  8. Bayro Corrochano & G. Sobczyk, Geometric Algebra with Applications in Science and Engineering  (Birkhauser,  Boston 2001).
  9. Dorst, C. Doran & J. Lasenby (Eds.), Applications of Geometrical Algebra in Computer Science and Engineering (Birkhauser, Boston, 2002)
  10. Baylis, Electrodynamics: A Modern Geometric Approach (Birkhauser, Boston, 1999).
  11. Lasenby & C. Doran, Geometric Algebra for Physicists (Cambridge U. Press, Cambridge 2002).